Minkowski-Diagramme

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18.09.2020, 09:55

Die spezielle Relativitätstheorie (SRT) besteht eigentlich nur aus ganz wenigen Aussagen. Wenn man sich zum ersten mal versucht in die SRT einzulesen stößt man aber praktisch ständig über scheinbar widersprüchliche Aussagen. Über verbale Aussagen da ein Verständnis aufzubauen ist extrem schwierig. Das haben zum Glück auch etliche Mathematiker bemerkt. Einige der Mathematiker haben dann versucht die Problematik zum besseren Verständnis zu visualisieren. Die gebräuchlichste Methode dürfte wohl die Visualisierung von Problemen über das Minkowski-Diagramm sein. Die anschaulichste Beschreibung dazu habe ich hier gefunden. Nun ist es ziemlich mühsam so ein problemspezifisches Diagramm zu entwerfen und zu skalieren. Ich habe mir deshalb ein kleines java-Programm zum Anfertigen der Diagramme geschrieben. Das Programm ist ziemlich einfach gehalten und auch nicht mit einer Benutzeroberfläche versehen. Man kann aber trotzdem ziemlich einfach zu ganz guten Problemdarstellungen kommen. Ich habe es vor allem dazu genutzt, um mir selbst einmal ein Gefühl zu vermitteln, was in der SRT so Sache ist. Das Ganze ist ziemlich gewöhnungsbedürftig, weil es so ziemlich das Gegenteil von unseren Alltagserfahrungen darstellt.

Abb1_2.gif
Abb1_2.gif (54.44 KiB) 166 mal betrachtet

So ein Diagramm besitzt zwei Koordinatensysteme. Das hier schwarz dargestellten Systeme enthalten die Koordinaten die ein ruhender Beobachter sieht. Die Koordinaten in den grauen Systemen sieht ein bewegter Beobachter. Je schneller der sich relativ zum ruhenden Beobachter in positiver x-Richtung bewegt, um so kleiner wird der Winkel zwischen den Achsen ct’ und x’ im linken Diagramm. Bei Bewegung gegen die x-Richtung vergrößert sich der Winkel. Bei Lichtgeschwindigkeit liegen die beiden Achsen immer auf einer der gelb eingezeichneten Weltlinie eines Photons. Die Achsen sind unterschiedlich skaliert. Eine Längeneinheit auf den Achsen ergibt sich über den jeweiligen Schnittpunkt der in weiß dargestellten Einheitshyperbeln durch die Achsen. Die endgültige Beschriftung der Achsen muss auf beiden Achsen einheitlich erfolgen (Lichtsekunden oder Lichtjahre u.s.w). Man erkennt das auch an den Weltlinien der Photonen. Wenn ct z.B. eine Lichtsekunde beträgt muss das zugehörige x bei Lichtgeschwindigkeit auch eine Lichtsekunde betragen.   

Jetzt kann man sich einmal anschauen, was die SRT sagt, wie Ereignisse in den unterschiedlichen Systemen gesehen werden. Die Einheitshyperbeln sind in den folgenden Grafiken weggelassen. Die schneiden aber auch dort immer den ersten dicken Punkt. Man kann sich den Punkt einfach mit 1 beschriftet denken.

Abb3.gif
Abb3.gif (14.39 KiB) 166 mal betrachtet

Gleiche Zeiten liegen auf Parallelen der jeweiligen x-Achse. Gleiche Orte liegen auf Parallelen der jeweiligen ct-Achse. Was man hier zunächst einmal ablesen kann, ist das Ergebnis einer Lorenztransformation für das Ereignis E.

xE’=gamma*(xE-beta*ctE)
ctE’=gamma*(-beta*xE+ctE)

Im bewegten System wird das Ereignis zu einer anderen Zeit und an einem anderen Ort wahrgenommen. Es kommt aber noch besser. An der zweiten Formel sieht man nämlich, dass Zeiten zu Ereignissen auch noch ortsabhängig sind. In einem System gleichzeitig stattfindende Ereignisse müssen in einem anderen System nicht gleichzeitig stattfinden.

Abb4.gif
Abb4.gif (17.28 KiB) 166 mal betrachtet

Die beiden Ereignisse E1 und E2 finden im Ruhesystem an verschiedenen Orten statt. Sie finden dort aber gleichzeitig statt. Im bewegten System werden die beiden Ereignisse zu unterschiedlichen Zeiten gesehen. Das hat ziemlich merkwürdige Konsequenzen, die man leicht übersieht, wenn man sich dessen nicht bewusst ist.

Als nächstes kann man sich dann die Weltlinie einer Rakete anschauen die bis zum Zeitpunkt ct0 auf der Startrampe bei x0 verharrt und dann schlagartig auf v=0.5c beschleunigt wird. In der Grafik ist die Weltlinie der Rakete rot dargestellt.
 
Abb5.gif
Abb5.gif (15.25 KiB) 166 mal betrachtet

Derart schlagartig beschleunigte Systeme gibt es natürlich nicht. Genau genommen müsste man die Beschleunigung mit einzeichnen. Das sieht dann wie hier dargestellt aus. Für die hier betrachteten Probleme spielt das aber keine Rolle.

Abb6.jpg
Abb6.jpg (35.25 KiB) 166 mal betrachtet

Was es mit der in Abb4 dargestellten Betrachtung zur Gleichzeitigkeit u.A. so auf sich hat, das kann man sehen, wenn man zwei örtlich getrennte Raketen gleichzeitig startet. Man kann jetzt einfach einmal annehmen, dass eine dicke Markierung an den Achsen 1 Lichtsekunde (Ls) ausmacht. Aus Sicht des Ruhesystems sind die Raketen gleichzeitig bei t=1.5Ls/c gestartet. Der Abstand der Raketen beträgt aus Sicht des Ruhesystems immer (xr2-xr1)=1Ls. Alle Beobachter im Ruhesystem werden immer diesen Wert messen. Aber beide Besatzungen der Raketen werden behaupten, Rakete 1 ist bei t=1.15Ls/c gestartet und Rakete 2 ist bei t=0.58Ls/c gestartet. Wenn die Besatzungen den Abstand zwischen ihren Raketen messen, dann kommen sie auf (xr2’-xr1’)=1.15Ls. Und alle Beobachter die in dem ct’-System ruhen, messen das, was die Besatzungen auch messen.

Nur der Vollständigkeit halber noch. Aus Sicht von ct fliegen die Raketen nach dem Start in positive x-Richtung. Man kann das Ganze aber auch aus Sicht von ct’ aus Abb6 betrachten. ct’ aus Abb6 sieht 2 Raketen die sich in negative x-Richtung (-v) bewegen und dann abrupt stoppen um anschließend im eigenen System verharren. Das System mit den grauen Achsen aus Abb6 wird dabei zum Ruhesystem.

Abb7.gif
Abb7.gif (20.19 KiB) 166 mal betrachtet

Hier fällt direkt ins Auge, dass die zweite Rakete zuerst stoppt und der Abstand sich dadurch im neuen Ruhesystem vergrößert.

Das Quellprogramm ist als Netbeans-Projekt in der .zip enthalten.


Minkowski_java.zip
(178.58 KiB) 11-mal heruntergeladen
 
Das ist meine persönliche Meinung dazu. Basierend auf einer nach bestem Wissen und Gewissen recherchierten Faktenlage.
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23.09.2020, 09:48

Jetzt noch zur Darstellung von Längen im Diagramm.  Hier müssen im jeweiligen System alle Ereignisse hinsichtlich der Messung an den Orten auf der zu untersuchenden Länge gleichzeitig erfasst werden. Bei den beiden Raketen gab es diese Forderung nicht. Dort wurden alle Ereignisse unabhängig voneinander betrachtet, was dann ja auch zu den unterschiedlichen Startzeiten und insbesondere noch dem Zuwachs beim Abstand aus Sicht der Besatzungen geführt hat.

Am Einfachsten betrachtet man einen Maßstab der Länge 1. Ein Beobachter der mit dem Maßstab ruht misst immer die Länge 1, auch wenn der Maßstab beschleunigt wurde. In der Grafik haben die Weltlinien der Enden des Maßstabs auf den Achsen des bewegten Systems damit den Abstand 1.    

Abb8.jpg
Abb8.jpg (34.52 KiB) 143 mal betrachtet

Dem Ruhesystem zugeordnete Orte aus dem bewegten System liegen auf Parallelen der ct’-Achse. Die gemessene Länge im Ruhesystem ergibt sich dann direkt aus den Schnittpunkten der Weltlinien mit der x-Achse.

Die beiden Raketen aus Abb6 hatten im Ruhesystem einen Abstand von 1. Wenn die beiden Raketen mit einem Seil der Länge 1 verbunden gewesen wären, dann wäre das Seil aus Sicht des Ruhesystems gerissen, weil der Abstand der beschleunigten Raketen auf 1.15 im bewegten System angewachsen war. Man kann es auch anders betrachten. Wenn die Besatzungen vor dem Start ein Seil mit der Länge 1 eingepackt hätten, dann wäre das Seil nach dem Start als Verbindungsseil zu kurz. Im Ruhesystem sieht man die beiden Raketen sowohl in Ruhestellung wie auch bewegt im Abstand von 1. Die Seilenden sieht man aber nur in Ruhe im Abstand von 1. Beim bewegten Seil sieht das Ruhesystem einen Abstand von nur 0.87.

Aus Sicht der Raketenbesatzungen reist das Seil, weil die aus ihrer Sicht zu unterschiedlichen Zeiten starten sich und damit ihr Abstand vergrößert. Wenn man die Beschleunigung mit berücksichtigt, wird sich der Zeitunterschied wahrscheinlich langsam mit zunehmender Geschwindigkeit entwickeln. Der Endzustand dürfte aber der Gleiche sein.
 
Man kann die kontrahierte Länge auch aus Sicht des bewegten Systems darstellen.

Abb9.gif
Abb9.gif (17.91 KiB) 143 mal betrachtet

Im Ruhesystem sind die Weltlinien der Maßstabsenden parallel zur ct-Achse. Gleiche Zeiten der Weltinien in gestrichenen System liegen auf parallelen von x’. Die gemessene Länge im bewegten System ergibt sich von daher aus den Schnittpunkten der Weltlinien mit der x’-Achse.

 
Das ist meine persönliche Meinung dazu. Basierend auf einer nach bestem Wissen und Gewissen recherchierten Faktenlage.
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17.11.2020, 08:52

Zum Zwillingparadoxon gibt es etliche unterschiedliche Darstellungen. Meistens sind bei der Darstellung nur die Achsen vom Ruhesystem zu sehen, was vor allem für Neulinge ziemlich verwirrend ist. Man kann aber ziemlich einfach zeigen, wie solche Diagramme zustande kommen.

Zwilling_Abb1.gif
Zwilling_Abb1.gif (22.04 KiB) 54 mal betrachtet

Die Weltlinie des ruhenden Zwilling ist hier blau eingezeichnet. Der Zwilling der bei ct0 vom Ruhesystem ins Strichsystem wechselt ist rot eingezeichnet. Die Weltlinie des Ziels ist grau eingezeichnet. Der rote Zwilling wechselt bei ct0 das Inertialsystem und ist dann mit 0.6c in Richtung Ziel unterwegs. Der Hinflug dauert nun aus Sicht des blauen Zwillings t_hin=ct1-ct0=1.5 Einheiten. Der rote Zwilling misst aber t_hin’=ct1’-ct0’=1.2 Einheiten für die Flugdauer.
Den Rückflug tritt der rote Zwilling dann in dem hiesigen Beispiel nur noch mit 0.3c an. Zur Bestimmung der Rückflugzeit wird eine andere Strichachse mit entsprechender Steigung und entsprechender Skalierung gebraucht.    

Zwilling_Abb2.gif
Zwilling_Abb2.gif (22.52 KiB) 54 mal betrachtet

Der Rückflug dauert nun aus Sicht des blauen Zwillings t_rueck=ct1-ct0=3.0 Einheiten. Der rote Zwilling misst t_rueck’=ct1’-ct0’=2.9 Einheiten für die Flugdauer.

Wenn sich die beiden Zwillinge wieder treffen, sind also für den blauen Zwilling 4.5 Zeiteinheiten vergangen. Für den roten Zwilling sind aber nur 4.1 Zeiteinheiten vergangen.

Solange der blaue Zwilling immer im gleichen Inertialsystem bleibt kann der rote Zwilling sein Inertialsystem so oft wechseln wie er will, ohne dass man ein neues Diagramm anlegen muss. Die Weltlinienabschnitte werden entsprechen der zugehörigen Achsen einfach aneinander gezeichnet.

Zwilling_Abb3.gif
Zwilling_Abb3.gif (12.66 KiB) 54 mal betrachtet

In etlichen Darstellungen werden die Achsen auch teilweise oder ganz weggelassen und die Skalierungen direkt an die Weltlinien gezeichnet. Eigentlich muss man ja auch nur wissen, wie die Uhr im jeweiligen Inertialsystem tickt. Und das kann man dann direkt an den Skalen der Weltlinien ablesen.

Oft liest man, dass der Zeitunterschied durch die Beschleunigung zustande kommt. Man kann aber zeigen, dass zwei Zwillingspaare trotz gleicher Beschleunigungen bei gleichzeitiger Trennung, unterschiedliche Altersunterschiede aufweisen, wenn sie sich dann später wieder zur gleichen Zeit treffen.

Zwilling_Abb4.gif
Zwilling_Abb4.gif (17.48 KiB) 54 mal betrachtet

Die beiden Zwillingspaare Blau/Rot und Grün/Violett trennen sich gleichzeitig. Rot und Violett beschleunigen dabei beide instantan auf v=0.85c und fliegen dann mit konstanter Geschwindigkeit zwei unterschiedliche Strecken. Nach einem einem Stop mit anschließender Pause beschleunigen sie dann irgendwann wieder auf v=0.85c um zurück zu fliegen. Dabei wird der Zeitpunkt für den Rückflug so gewählt, dass beide wieder gleichzeitig bei ihrem Zwilling ankommen. Trotz gleicher Beschleunigungen sind Rot und Violett unterschiedlich gealtert. Rot ist etwa 4 Einheiten gealtert. Violett nur etwas über 3 Einheiten. Blau und Grün sind 5 Einheiten gealtert.


Mink_0_01.zip
(191.3 KiB) 2-mal heruntergeladen
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